Archimedes

Die Geheimnisse eines sizilianischen Genies

Sizilianisch?
Archimedes war doch ein alter Grieche!
Stimmt – aber Sizilien war ein Teil des antiken Griechenlands. Sogar ein sehr wichtiger. Die großen, gut erhaltenen griechischen Tempel in ganz Sizilien sind das augenfälligste Zeugnis dafür. Die Zeugnisse, die Archimedes hinterließ, findet man dagegen in jedem Mathebuch. Und nicht nur das. Archimedes war auch ein begnadeter Ingenieur. Noch heute nutzen wir viele seiner Erfindungen in unserem Alltag – und ahnen dabei nicht, daß sie aus Sizilien stammen. Bis vor wenigen Jahren ahnte man auch nicht, wie genial Archimedes wirklich war.

Veröffentlicht am:  14. Oktober 2012

Letzte Änderung:  03. November 2012

Autorin:  

 

Archimedes – Was man über sein Leben weiss

Wenig! Nicht einmal das Jahr seiner Geburt ist sicher bekannt. Man vermutet sie um 290 v. Chr. Der Vater von Archimedes war Hof-Astronom des Königs von Syrakus, einer Stadt an der südöstlichen Spitze Siziliens. Archimedes wurde also nicht nur in die richtige Familie, sondern auch in die richtige Stadt geboren. Denn Syrakus war damals eine der größten und schönsten der Welt – und zugleich eine Brutstätte für neue wissenschaftliche, technische und kulturelle Ideen. Genau die richtige Umgebung also für jemanden wie Archimedes.

Er verließ daher seine Heimatstadt auch nur einmal für längere Zeit – nämlich um nach Alexandria zu gehen. Das damals ebenfalls griechische Alexandria war wegen seiner Bibliothek – sie war die größte der Antike – ein noch stärkerer Magnet für Wissenschaftler als Syrakus. Zurück in Syrakus befaßte sich Archimedes nicht nur mit trockener Mathematik und Physik. Ihn interessiert vor allen Dingen auch der praktische Nutzen. Und so begegnet er uns z.B. heute noch in der Schule als derjenige, der erklären konnte, warum ein Schiff schwimmt, wie ein Hebel funktioniert und wie man den Inhalt einer Kugel berechnet.

Neuere Forschungen zeigen allerdings, daß dieses nur ein kleiner Teil seiner Arbeiten war. Tatsächlich befaßte er sich bereits mit Dingen, die man bis vor kurzem der modernen Wissenschaft und Technik zurechnete. Heute hält man Archimedes für den größten Mathematiker aller Zeiten. Diese sehenswerte Dokumentation gibt einen Überblick über das Leben des "Genies der Antike":

Sie zeigt auch, warum Archimedes Wissen verloren ging. Es war schlicht eine Folge des zweiten Punischen Krieges. Ihm fiel nicht nur Archimedes persönlich, sondern auch all sein neueres Wissen zum Opfer.

Die Dokumentation zeigt allerdings nicht, wie man diesem verschollen Wissen zum Teil dann doch auf die Spur kam. Sie befasst sich auch nicht mit den Details von Archimedes Erfindungen. Sollte sie auch gar nicht – es ging schließlich um einen Überblick. Und der ist durch die von Archimedes ausgelöste Wissens-Explosion schon aufwändig genug.

Die folgenden Abschnitte beschreiben einige der bekanntesten Fragmente dieser Explosion anhand von Beispielen aus Archimedes Heimat Sizilien. Die letzten beiden Abschnitte widmen sich dann dem Palimpsest des Archimedes. Diese vor gut 100 Jahren wiedergefundene Schriftensammlung zeigt, daß schon Archimedes Methoden der Analysis benutzt hat.

Obwohl die Analysis also schon älter als 2000 Jahre ist, gehört sie immer noch zu den Schrecken des Matheunterrichts. Die letzten beiden Abschnitte versuchen dem Ableiten und Integrieren durch praktische Beispiele aus Sizilien etwas von diesem Schrecken zu nehmen.

Aber wir wollen ehrlich sein: wer wirklich in die Analysis einsteigen will darf trotz allem nicht sehr schreckhaft sein. Zur Erholung gibt es ganz am Schluss noch ein paar Tipps für einen Urlaub in Sizilien.

 

Das Hebelgesetz – Mit wenig Kraft viel bewegen

Archimedes war sein Leben lang fasziniert von der Möglichkeit, mit wenig Kraft viel zu bewegen. Er soll dazu angeblich gesagt haben: "Gib mir einen Punkt, auf dem ich stehen kann, und ich werde dir die Welt aus den Angeln heben". Ob Archimedes es wirklich so gesagt hat, weiss natürlich niemand. Übertrieben ist es allemal.

Wahr ist aber, daß wir alle wissen – auch diejenigen von uns, die mit Physik rein gar nichts am Hut haben – wie man mit wenig Kraft viel bewegt: wir nutzen dazu intuitiv das Hebelgesetz. Ein simples Alltagsbeispiel dafür ist der Wasserhahn:

In Archimedes Heimat, Sizilien, laufen uns überall weitere alltägliche Beispiele für das Hebelgesetz über den Weg:

  • Mit dem Bremshebel bringen die Ragazzi ihre Vespa zum Stehen.
  • Der Barista dreht den Siebträger voller Kaffeepulver mit einem Hebel in die Espressomaschine.
  • Die sizilianischen Fischer bewegen ihre bunten Boote mit Hilfe eines Riemens – auch das ist ein Hebel.

Im Sizilien zu Archimedes Zeiten gab es zwar noch keine Vespas und Espressomaschinen – aber Kriegschiffe. Und die wurden von armen Rudersklaven mit Hilfe von Riemen betrieben. Man wusste die Wirkung eines Hebels also schon lange vor Archimedes intuitiv zu nutzen.

Ein Archimedes gibt sich aber natürlich nicht mit der schnöden Intuition zufrieden. Er wollte wissen, was dahinter steckt. Das macht ja auch Sinn. Meist entdeckt man die interessanten Sachen erst nach tieferem Bohren. So war es auch hier. Archimedes formulierte nicht nur das Hebelgesetz – so wie wir es heute noch in der Schule lernen – er entwickelte daraus zusätzlich die Grundlagen der Statik: Archimedes entdeckte also, das auch für einen Dachbalken letztlich das Hebelgesetz gilt.

 

Der Flaschenzug – die kreisförmige Hebelwirkung

Auch der Flaschenzug hilft uns, mit wenig Kraft viel zu bewegen. Archimedes soll damit ganze Kriegsschiffe alleine gezogen haben. Ob das wirklich so war, läßt sich heute nicht mehr nachweisen. Aber auf jeden Fall gilt Archimedes als Erfinder auch des Flaschenzugs. Ganz unwahrscheinlich ist das tatsächlich nicht, denn mit wenig Kraft viel zu bewegen war ja seine Leidenschaft. Ein schönes Beispiel für die Nutzung von Flaschenzü­gen in Sizilien, sind Kräne, mit denen man Boote zu Wasser lässt. Dieses Bild zeigt z.B. den Kran im Hafen des Borgo di Santa Nicolicchia:

Unter seinem Kopf hängt ein Flaschenzug mit zwei Blöcken à fünf Rollen. Diese Rollen können sich alle unabhängig voneinander drehen. Am unteren Rollenblock ist der Haken befestigt, an dem die Boote hochgezogen werden. Bei genauerem Hinsehen erkennt man am unteren Rollenblock auch die Befestigung des Seils. Von dort aus läuft es über alle 10 Rollen, kommt danach links oben aus dem Kopf heraus und läuft nach unten zu einer motorisierten Seiltrommel (nicht im Bild zu sehen).

Aber warum um Himmels Willen macht man diese ganze umständliche Wickelei? Ganz einfach: die Last des Bootes verteilt sich durch diesen Trick auf 10 Teile des Seils. Nehmen wir einmal an, das Boot sei klein und wiege nur 100kg. Dann hätte jedes der 10 Seil-Teile ganze 10kg zu tragen. Das gilt natürlich auch für das Teil, an dem die Seiltrommel "zieht". Sie kann also mit wenig Kraft viel bewegen.

Aber auch für Seiltrommeln ist nichts umsonst. Stellt Euch vor, sie wickelt 1m des Seils auf. Dann sollte das Boot jetzt auch 1m höher über dem Wasser schweben. Tut’s aber nicht. Tatsächlich wird es nur 10cm angehoben. Die Seiltrommel muss also für die 10x geringere Kraftanstrengung auch 10x länger ziehen.

Die Arbeit bleibt also am Ende die gleiche. Sonst wäre der Flaschenzug ja auch eine Art Perpetuum mobile. Und das zu bauen, ist selbst dem Genie Archimedes nicht gelungen.

 

Warum schwimmt ein Boot?

Seltsam, aber im Wasser fühlen wir uns viel leichter als an Land. Noch seltsamer ist, daß wir uns im Toten Meer leichter fühlen als im Mittelmeer. Archimedes hat diesen Effekt als erster beschrieben und erklärt. Er wurde zu seinen Ehren "Archimedisches Prinzip" genannt.

Angeblich hat Archimedes die Erklärung für sein berühmtes Prinzip in der Badewanne entdeckt. Das ist zwar unbewiesen, aber die Badewanne ist tatsächlich eine prima Umgebung um mit dem Archimedischen Prinzip zu spielen. Stellt Euch also eine Badewanne vor, die randvoll mit Wasser ist. Jetzt nehmt ihr eine Steinkugel aus der Gartenabteilung eines Baumarkts und legt sie in die Wanne. Nehmen wir mal an, die Kugel habe einen Durchmesser von 10cm. Dann ist ihr Volumen ungefähr 500cm². (die Formel zum Ausrechnen des Kugel-Volumens, also  ^1/_6 \,*\, \pi \,*\, d^{3}  ,  geht übrigens auch auf Archimedes zurück).

Unsere Steinkugel hat die Badewanne natürlich zum Überlaufen gebracht. Wischen wir das übergelaufene Wasser auf, bekommen wir ca. einen halben Liter Wasser – also genau das Volumen der Steinkugel – zusammen.

Wir füllen unsere Badewanne wieder bis zum Rand mit Wasser und nehmen für das nächste Experiment statt der Steinkugel eine Styroporkugel mit 10cm Durchmesser. Da Styropor auf Wasser schwimmt, drücken wir sie vollständig unter Wasser. Auch jetzt schwappt wieder ca. ein halber Liter Wasser über.

Soweit ist erstmal alles logisch: ein Fremdkörper in der Badewanne verdrängt immer genau soviel Wasser, wie sein Volumen beträgt – ganz unabhängig vom Material dieses Körpers. Das war sicherlich auch schon den Leuten vor Archimedes klar. Das Archimedische Prinzip gab dem ganzen aber Auftrieb – im wahrsten Sinne des Wortes. Archimedes fragte sich nämlich, warum man leichte Körper unter Wasser drücken muss, während schwere einfach untergehen. Und er fragte sich, wie man diese seltsame Kraft des Wassers, die Körper nach oben drückt wohl berechnen könne.

Archimedes erster Aha-Effekt war, daß diese Auftriebskraft nicht vom Material abhängt, sondern auf jeden Körper gleich wirkt: Der Stein geht zwar unter, aber könnte er sprechen, würde er uns sagen, daß er sich im Wasser leichter fühlt. Da die am Stein ziehende Schwerkraft aber viel größer als die Auftriebskraft ist, fällt er eben "wie ein Stein zu Boden".

Umgekehrt ist die Schwerkraft, die die Styroporkugel nach unten zieht im Vergleich zur Auftriebskraft sehr klein. So klein, daß die Styroporkugel fast nicht einmal ins Wasser einsinkt. Drücken wir die Kugel also nicht unter Wasser, schwappt nur ganz wenig davon über. Und das brachte Archimedes zum zweiten Aha-Effekt – dem Archimedischen Prinzip:

Das Gewicht des übergeschwappten Wassers entspricht der Auftriebskraft

Rechnen wir das mal für unsere Steinkugel aus: Ihr Volumen ist ungefähr 500cm² und da der Stein "vollständig absäuft", verdrängt er genauso viel Wasser. 500cm² (also ein halber Liter) Wasser wiegen 0,5kg. Granit dagegen (nehmen wir mal an, der Stein bestehe daraus) wiegt fast dreimal soviel. Unsere Kugel ist also fast 1,5kg schwer.

Mit diesen Daten können wir jetzt die Kräfte vergleichen. Die Gewichtskraft (Einheit: N wie Newton) bekommen wir, indem wir das Gewicht (Einheit: kg) mit der Gravitationskonstante g (= 9,81 – also rund 10) multiplizieren. Das Wasser drückt die Steinkugel also mit ca. 5N nach oben, die Gravitation zieht es mit ca. 15N nach unten. 3 zu 1 also für die Gravitation: der Stein rast regelrecht nach unten, wenn wir ihn nicht bremsen.

Jetzt schauen wir einmal was das Archimedische Prinzip mit unserer Styroporkugel macht. Dazu pressen wir sie wieder ganz unter Wasser. Und dadurch wird wieder ein halber Liter, also 0,5kg Wasser verdrängt. Die Auftriebskraft beträgt also – wie bei der Steinkugel – ca. 5N. Styropor wiegt allerdings nur ca. 70x weniger als Wasser. Das Gewicht unser Styroporkugel wäre also ca. 0,007kg. Die Gravitation zieht daher nur mit einer Kraft von ca. 0,07N an der Kugel. Jetzt steht es also 1 zu 70 für die Auftriebskraft. Kein Wunder also, daß die Kugel wie eine Rakete nach oben jagt, sobald wir sie loslassen.

Bleibt noch die Frage, wie das Archimedische Prinzip auf ein sizilianisches Fischerboot wirkt. Um das zu verstehen nehmen wir wieder unsere Steinkugel. Im Unterschied zu vorhin stellen wir uns aber vor, sie habe nur eine Wandstärke von 5mm, das Innere sei also leer. Das Innere dieser Hohlkugel hat also einen Durch­messer von 9cm. Das entspricht ungefähr 400cm². Das Gewicht der Kugel sinkt daher um ca. 1,2kg auf nur noch 0,3kg.

Die Gravitation zieht unsere Steinkugel jetzt also nur noch mit 3N statt voher 15N nach unten. Drücken wir diese leichte Steinkugel ganz unter Wasser, verdrängt sie aber nach wie vor einen halben Liter Wasser. Die Auftriebskraft bleibt auch für diesen Fall also 5N. Jetzt steht es 3 zu 5 für den Auftrieb: Lassen wir die hohle Steinkugel los, flitzt sie nach oben.

Selbst, wenn also ein sizilianisches Fischerboot aus Stein gemeisselt wäre, würde es schwimmen. Sie sind aber üblicherweise aus Holz. Noch mehr Auftrieb also für die Fischerboote.

 

Die Archimedische Schraube

Archimedes bewegte nicht nur große feste Gegenstände mit Hebeln und Flaschenzügen, sondern auch Wasser. Eine effektive Bewässerung war auch schon im damaligen Sizilien für die Landwirtschaft lebens­wichtig. Wie aber bekommt man Wasser aus einem tiefergelegenen in ein höhergelegenes Becken? Das Wasser mit Eimern schöpfen? Auf die Dauer ziemlich anstrengend. Das wird auch Archimedes so gesehen haben und erfand die archimedische Schraube:

So weit man heute weiss, war es der erste Einsatz einer Schraube überhaupt. Heute verstehen wir darunter eher ein Befestigungselement. Das, was Archimedes erfunden hat, nennt man heute "Schneckenförderer". Man findet Schneckenförderer heute überall dort, wo Schüttgut transportiert werden muss. Hier sind einige für Archimedes Heimat Sizilien typische Beispiele:

  • Bei der Getreideernte landen die Getreidekörner in einem speziellen Tank des Mähdreschers. Ist der voll, fährt ein Lastwagen neben den Mähdrescher und eine archimedische Schraube befördert die Körner vom Tank des Mähdreschers auf die Ladefläche des Lastwagen. Das habt ihr wahrscheinlich in den typischen Video-Clips zur Getreideernte alle schon gesehen.
  • Trauben werden dagegen noch von Menschen geerntet. Die abgepflückten Reben landen im wahrsten Sinne des Wortes körbeweise auf einem Lastwagen. Ist er voll, fährt er zum Lager und kippt die Reben auf eine archimedische Schraube. Sie transportiert die Trauben dann zur Presse.
  • Das sizilianische Beispiel überhaupt ist aber die traditionelle Gewinnung von Meersalz in Westsizilien. Dazu wird Meerwasser mit archimedischen Schrauben in große, flache Becken gepumpt. Unter der sizilianischen Sonne verdunstet das Wasser nach und nach und die verschiedenen Salze beginnen auszufallen. Das Geheimniss der Salzbauern ist nun, genau zur rechten Zeit das Wasser in weitere Becken zu pumpen. So trennen sie nach und nach die unterschiedlichen Salze aus dem Wasser. Angetrieben werden die archimedischen Schrauben traditionell durch Windmühlen, heute aber natürlich auch durch Motoren. Trotzdem prägen die Windmühlen nach wie vor die Küstenlandschaft zwischen Marsala und Trapani.

Daß alle drei Beispiele im weitesten Sinne aus der Landwirtschaft stammen ist kein Zufall. Sie ist ein wichtiges Standbein der sizilianischen Wirtschaft. Sizilien war schon unter den alten Römern die Kornkammer Italiens und sizilianische Weine haben mittlerweile einen internationalen Ruf. Sizilien ist ausserdem die italienische Region mit dem höchsten Anteil an Biolandwirtschaft.

 

Differentialrechnung und das Palimpsest des Archimedes

Bis vor kurzem betrachtete man Geistesgrößen wie Descartes, Newton und Leibniz als Väter der Analysis – also des Ableitens und Integrierens. Aber dann entdeckte Mitte des 19. Jahrhunderts der Theologie-Professor Konstantin von Tischendorf – ein Spezialist für alte Schriften – in Istanbul das, was man heute „Palimpsest des Archimedes“ nennt. Das Wort "Palimpsest" entstammt dem Altgriechischen und bedeutet "wieder abschaben". Abgeschabt wurde im Mittelalter schon beschriebenes Pergament oder Papyrus, um es für neue Texte nutzen zu können. Genau dieses Schicksal ereilte auch ein verschollenes Buch von Archimedes. 1229 wurde es zum Schreiben eines liturgischen Buchs "recycelt".

Und genau das fiel Konstantin von Tischendorf in die Hände. Er erkannte schnell die Reste eines griechischen Textes, wusste aber den Inhalt nicht zu deuten. Ganz anders der dänische Archimedes-Spezialist Johan Ludvig Heiberg. Er untersuchte das Palimpsest 1906 in Istanbul, machte Fotos und konnte bereits damals entschei­dende Teile des Textes entschlüsseln. Dazu gehörte insbesondere auch das, was wir heute als Analysis bezeichnen.

Unglaublicherweise ging das Palimpsest dann wieder durch Kriegswirren verloren – diesmal war es der erste Weltkrieg. Glücklicherweise tauchte es dann aber in den 20er Jahren in der Bibliothek eines privaten Sam­mlers aus Paris wieder auf.

1998 kam das Palimpsest unter den Hammer. Ein reicher anonymer US-Bürger legte dafür 2 Mio. Dollar bei Christie’s auf den Tisch. Glücklicherweise – denn er übergab das Palimpsest der Wissenschaft. Der Spiegel meint, es wäre Jeff Bezos, der Gründer von Amazon gewesen. Wer immer es war, wir müssen ihm sehr dank­bar sein: Er stellte nämlich die Original-Arbeiten von Archimedes via Google Books auch uns allen zur Verfügung. Gut also, daß wir in Griechisch besser als in Mathe aufgepasst haben:

Das Palimpsest des Archimedes

Im Gegensatz zum Archimedes-Original ist die folgende Dokumentation sehr gut verständlich. Sie gibt einen schönen Überblick über die verschlungenen Wege des Palimpsest. Sie zeigt ausserdem die modernen Methoden der Rekonstruktion – sehr empfehlenswert:

Wie wir schon gesehen haben, hatte Archimedes immer den praktischen Nutzen seiner Mathematik im Sinn. Was also bringt uns die Analysis? Beginnen wir mit der Differentialrechnung, also dem Ableiten. Mit ihrer Hilfe können wir beschreiben, ob und wie Werte sich verändern: Benzinpreise, Flughöhen, Körpertemperaturen, etc. Fallen sie oder steigen sie? Und wenn ja, wie schnell oder langsam?

Das hat man schon "im Gefühl" – wozu die nervige Differentialrechnung? Mag ja sein – aber fliegt ihr lieber mit einem Kapitän, der die Flughöhe "im Gefühl" hat oder mit einer Automatik, die die Flughöhe misst und aus ihren Änderungen berechnet, was zu tun ist? Die Demonstration des brandneuen russischen Sukhoi Superjet 100 in Indonesien im Mai 2012 flog übrigens ein Kapitän, der seinem Gefühl folgte. Die Folge: 50 Tote. Der Kapitän hatte den Berg wohl nicht "gefühlt", dem er sich gerade näherte: Der nämlich ließ die Flughöhe sehr schnell und gnadenlos auf Null sinken.

Wie hier die Differentialrechnung hätte helfen können, zeigt das Beispiel des Capo Zafferano in Archimedes Heimat Sizilien. Die rote Kurve zeigt den Verlauf des Berges an, die blaue die Änderung des Verlaufs, also die Steigung:

Nehmen wir an, wir besteigen den Berg von der linken Seite her. Die Steigung ist zuersteinmal gemütlich, wird dann stärker und etwa auf der Hälfte des Weges zum Gipfel wieder gemütlich. Der Weg zum Gipfel ist dann wieder steiler.

Am Gipfel angekommen, geht es rechts den Berg wieder hinab. Die Steigung nimmt also wieder zu, allerdings mit umgekehrtem Vorzeichen. Im ersten Moment ist sie wieder gemütlich, wird dann aber recht stark. An dieser Stelle zeigt die blaue Kurve daher einen starken "Ausschlag" nach unten.

Soweit ist die Idee der Analysis ja einigermaßen verständlich. Was uns an der Differentialrechnung und Integralrechnung aber ja eigentlich nervt, sind die Kurvendiskussionen. Wozu die gut sind, zeigt der folgende Abschnitt.

 

Integralrechnung

Mit Hilfe der Integralrechnung können wir beschreiben, wie sich Werte aufsummieren. Das machen wir im Alltag dauernd ohne uns dessen bewußt zu sein: Wir sparen Geld für den nächsten Sizilien-Urlaub zusammen, wir summieren die zu uns genommenen Kalorien auf oder wir rechnen aus, wieviel Heizöl wir im letzten Winter verbraucht haben.

In Archimedes Heimat Sizilien wäre das übrigens recht wenig. Sind doch die Winter hier eher frühlingshaft. Und ausserdem scheint die Sonne auch im Winter recht intensiv. Wieviel das tatsächlich ist, ermitteln wir wieder mit Hilfe der Integralrechnung.

Das folgende Bild zeigt einen Sonnenuntergang über dem Golf von Palermo. Die rote Kurve gibt den Lauf der Sonne über den Tag wieder. Die blauen Balken zeigen die jeweils für eine Stunde aufgesammelte Energie an. Summieren wir die blauen Balken auf, bekommen wir die gesamte Tagesenergie:

Für unseren Alltag müssen wir gar nicht mehr über Integralrechnung wissen. Mathe-Freaks wie Archimedes und all seinen Nachfolgern reichte das aber überhaupt nicht. Die Aufteilung unserer Berechnung in Balken ist für sie irgendwie unelegant. Warum z.B. sind die Balken eine Stunde breit und nicht drei? Oder nur eine Minute? Oder eine Sekunde? Oder noch weniger?

Wie dünn können die Balken denn eigentlich überhaupt werden? Mit dieser Frage sind wir an einem entscheidenden Punkt angekommen. Um sie nämlich beantworten zu können, müssen wir etwas sehr Abstraktes einführen – das Unendliche. Die Antwort ist also: die Balken können unendlich dünn werden.

Aber dann sind sie ja gar nicht mehr da – oder? Also wäre dann doch die aufgesammelte Energie Null. Ist sie aber augenscheinlich nicht. Tja, und jetzt? Jetzt wundern wir uns zuersteinmal nicht mehr, daß nur Intelligenzbestien wie Archimedes, Leibniz oder Newton sich überhaupt getraut haben, solch widersprüchliche Gedanken weiterzudenken.

Wir "Normalos" sollten uns aber auch nicht wundern, daß Mathematik ab diesem Punkt unvermeidlich anfängt zu nerven. Unvermeidlich, weil wir einfach keinerlei Erfahrung und damit auch keinerlei Vorstellung vom Unendlichen haben können. Und genau deswegen stellen wir uns die Balken jetzt einfach einmal als dünne Striche vor:

Die Höhe eines Striches steht wieder für die Stärke der Sonnenenergie in diesem Punkt. Diese Höhe können wir auch durch einen kleinen Punkt oben auf dem Strich markieren. Wir brauchen die Striche dann also gar nicht mehr. Wir haben jetzt nur noch die Punkte am Hals:

Sie liegen allerdings alle auf der Sonnen-Kurve. Hätten wir jetzt also eine einfache Beschreibung für diese Kurve, bräuchten wir all die Punkte auch nicht mehr. Und genau deswegen sind Mathe-Freaks so auf Kurven versessen. Sie sparen schlicht die Rumrechnerei mit den vielen einzelnen Punkten.

Formelkram für all diejenigen, die ein wenig integrieren können

Die Formel für den Sonnenstand haben Astronomen und Mathematiker natürlich schon lange gefunden. Sie ist vereinfacht:

Sonnenstand \;=\; sin(Breite) \,*\, sin(Tag) \;+\; cos(Breite) \,*\, cos(Tag) \,*\, cos(Tageszeit)

Breite  :  geografische Breite des Standorts

Tag  :  Tag des Jahres für den wir den Sonnenstand berechnen möchten

Tageszeit  :  Tageszeit, für die wir den Sonnenstand ermitteln möchten

Da wir wissen möchten, wieviel Energie die Sonne über den Tagesverlauf liefert, ist nur Tageszeit  variabel und Tag  und Breite  sind konstant. Dadurch können wir schön so vereinfachen:

Sonnenstand \;=\; K1 \;+\; K2 \,*\, cos(Tageszeit)

Diese Kurve müssen wir jetzt nur noch über die Tageszeit  integrieren. Dazu sehen wir uns zuerst einmal K1  an. Mit der Integrationsregel für Konstanten wird daraus:

K1 \,*\, Tageszeit \;+\; K3

mit K3  als neuer Konstante. Das Integral von cos  ist sin  , also haben wir für den zweiten Teil der Kurve

K2 \,*\, sin(Tageszeit)

Fassen wir die beiden Einzelteile wieder zusammen, bekommen wir das Integral des Sonnenstands über den Tagesverlauf:

\int Sonnenstand \; \mathrm{d} Tageszeit \;=\; K1 \,*\, Tageszeit \;+\; K2 \,*\, sin(Tageszeit) \;+\; K3

Fazit

Das war schon wieder zum Abgewöhnen – oder? Und dabei haben wir schon so stark vereinfacht, daß sich Astronomen und Mathe-Freaks sicherlich mit Grausen abwenden. Es hilft aber alles nichts: Wir können mit unseren Beispielen zwar zeigen, daß Archimedes und seine Kollegen die Differentialrechnung und Integralrechnung nicht zum Nerven von Schülern erfunden haben. Ableiten und integrieren wird aber immer ein Graus bleiben – es sei denn, man ist ein Mathe-Freak.

 

Urlaub in Sizilien

Wer durch das heutige Sizilien fährt, kann sich kaum vorzustellen, daß dieses einmal die Hightech-Region der griechischen Antike war. Heute verbinden wir Sizilien mit viel Sonne, viel Kultur und leider auch mit viel Mafia.

Die ersten beiden Punkte stimmen uneingeschränkt. Man muss sie sogar noch ergänzen – um viel Berge und Meer. Der dritte Punkt stimmt nur noch historisch. Ja, Sizilien ist das Ursprungsland der Mafia. Es ist gleichzeitg aber auch die wohl erfolgreichste Region der Welt im Kampf gegen dieselbe. Ausserdem ist mittlerweile auch die Mafia globalisiert und es gibt in anderen Regionen der Welt sehr viel mehr zu holen.

Sizilien bietet heute also nicht nur viel Sonne, sondern auch viel Sicherheit. Und das alles für wenig Geld. Die größtmögliche Vielfalt an Urlaubsaktivitäten bietet sich rund um Palermo. Hier liegen Sonne, Meer und Berge in direkter Nachbarschaft zu den erstaunlichsten Kulturgütern der sizilianischen Hauptstadt.

Wer zusätzlich noch auf einen Mietwagen verzichten, trotzdem am Meer wohnen und auch noch eine deutschsprachige Betreuung vor Ort haben möchte, für den empfehlen sich ganz besonders diese drei Urlaubsorte:

 

 

 

Advertisements

1 Kommentar

Comments RSS

Antwort

Trage deine Daten unten ein oder klicke ein Icon um dich einzuloggen:

WordPress.com-Logo

Du kommentierst mit Deinem WordPress.com-Konto. Abmelden / Ändern )

Twitter-Bild

Du kommentierst mit Deinem Twitter-Konto. Abmelden / Ändern )

Facebook-Foto

Du kommentierst mit Deinem Facebook-Konto. Abmelden / Ändern )

Google+ Foto

Du kommentierst mit Deinem Google+-Konto. Abmelden / Ändern )

Verbinde mit %s

%d Bloggern gefällt das: